37. log²0.5(x) - log0.5(x) - 2 = 0

Решение:

Пусть \( y = \log_{0.5} x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - y - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене:

1. \( \log_{0.5} x = 2 \)

\( x = (0.5)^2 = 0.25 \)

2. \( \log_{0.5} x = -1 \)

\( x = (0.5)^{-1} = \frac{1}{0.5} = 2 \)

Проверим ОДЗ: \( x > 0 \).

Оба корня \( 0.25 \) и \( 2 \) положительны, поэтому подходят.

Ответ: 0.25; 2