33. log3(x-1) + 2log9(17+x) = 7 + log1/3(9)

Решение:

Приведем логарифмы к одному основанию. Используем основание 3.

\( \log_9(17+x) = \frac{\log_3(17+x)}{\log_3 9} = \frac{\log_3(17+x)}{2} \)

\( \log_{1/3} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 (1/3)} = \frac{2}{-1} = -2 \)

Подставим в исходное уравнение:

\( \log_3(x-1) + 2 \cdot \frac{\log_3(17+x)}{2} = 7 - 2 \)

\( \log_3(x-1) + \log_3(17+x) = 5 \)

Используем свойство логарифма суммы:

\( \log_3((x-1)(17+x)) = 5 \)

Переведем в экспоненциальную форму:

\( (x-1)(17+x) = 3^5 \)

\( 17x + x^2 - 17 - x = 243 \)

\( x^2 + 16x - 17 = 243 \)

\( x^2 + 16x - 260 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 16^2 - 4(1)(-260) = 256 + 1040 = 1296 \).

\( \sqrt{1296} = 36 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-16 + 36}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( x_2 = \frac{-16 - 36}{2} = \frac{-52}{2} = -26 \)

Проверим ОДЗ: \( x-1 > 0 \) \(\implies\) \( x > 1 \) и \( 17+x > 0 \) \(\implies\) \( x > -17 \).

Таким образом, \( x > 1 \).

Для \( x_1 = 10 \): \( 10 > 1 \). Корень подходит.

Для \( x_2 = -26 \): \( -26 < 1 \). Корень не подходит.

Ответ: 10