34. log3(x) + log√x(x) - log1/3(x) = 6

Решение:

Приведем все логарифмы к основанию 3.

\( \log_{\sqrt{x}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \sqrt{x}} = \frac{\log_3 x}{\frac{1}{2}\log_3 x} = 2 \) (при \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \)).

\( \log_{1/3} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 (1/3)} = \frac{\log_3 x}{-1} = -\log_3 x \).

Подставим в исходное уравнение:

\( \log_3 x + 2 - (- \log_3 x) = 6 \)

\( \log_3 x + 2 + \log_3 x = 6 \)

\( 2 \log_3 x = 4 \)

\( \log_3 x = 2 \)

Переведем в экспоненциальную форму:

\( x = 3^2 \)

\( x = 9 \)

Проверим ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).

\( 9 > 0 \) и \( 9 \neq 1 \). Значение подходит.

Ответ: 9