38. log²2(1-x) - 2log2(1-x) = 3

Решение:

Пусть \( y = \log_2(1-x) \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 2y = 3 \)

\( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене:

1. \( \log_2(1-x) = 3 \)

\( 1-x = 2^3 \)

\( 1-x = 8 \)

\( x = 1 - 8 = -7 \)

2. \( \log_2(1-x) = -1 \)

\( 1-x = 2^{-1} \)

\( 1-x = 0.5 \)

\( x = 1 - 0.5 = 0.5 \)

Проверим ОДЗ: \( 1-x > 0 \) \(\implies\) \( x < 1 \).

Оба корня \( -7 \) и \( 0.5 \) удовлетворяют условию \( x < 1 \).

Ответ: -7; 0.5