32. 1/2 * lg(x^2 + x - 5) = lg(5x) + lg(1/(5x))

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

1. \( x^2 + x - 5 > 0 \)

2. \( 5x > 0 \) \(\implies\) \( x > 0 \)

3. \( \frac{1}{5x} > 0 \) \(\implies\) \( x > 0 \)

Таким образом, ОДЗ: \( x > 0 \) и \( x^2 + x - 5 > 0 \).

Упростим правую часть уравнения:

\( \lg(5x) + \lg{\frac{1}{5x}} = \lg(5x \cdot \frac{1}{5x}) = \lg(1) = 0 \).

Исходное уравнение примет вид:

\( \frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = 0 \)

Умножим обе части на 2:

\( \lg(x^2 + x - 5) = 0 \)

Переведём в экспоненциальную форму:

\( x^2 + x - 5 = 10^0 \)

\( x^2 + x - 5 = 1 \)

\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)

Проверим корни на соответствие ОДЗ \( x > 0 \) и \( x^2 + x - 5 > 0 \).

Для \( x_1 = 2 \): \( 2 > 0 \). Проверим \( 2^2 + 2 - 5 = 4 + 2 - 5 = 1 > 0 \). Корень подходит.

Для \( x_2 = -3 \): \( -3 < 0 \). Корень не подходит.

Ответ: 2