40. { log3(x) - log3(y) = 2, 2y^2 + x - 11 = 0 }

Решение:

Из первого уравнения системы:

\( \log_3 \frac{x}{y} = 2 \)

\( \frac{x}{y} = 3^2 \)

\( \frac{x}{y} = 9 \)

\( x = 9y \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 2y^2 + 9y - 11 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

Дискриминант \( D = 9^2 - 4(2)(-11) = 81 + 88 = 169 \).

\( \sqrt{169} = 13 \).

Корни уравнения:

\( y_1 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-22}{4} = -5.5 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( x \) по формуле \( x = 9y \).

Для \( y_1 = 1 \): \( x_1 = 9 \cdot 1 = 9 \).

Для \( y_2 = -5.5 \): \( x_2 = 9 \cdot (-5.5) = -49.5 \).

Проверим ОДЗ для логарифмов: \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Первая пара \( (x_1, y_1) = (9, 1) \) удовлетворяет ОДЗ.

Вторая пара \( (x_2, y_2) = (-49.5, -5.5) \) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: (9; 1)