36. log13(log3(log2(x^2+2x))) = 0

Решение:

Применим определение логарифма последовательно:

\( \log_2(x^2+2x) = 13^0 \)

\( \log_2(x^2+2x) = 1 \)

Теперь применим определение логарифма снова:

\( x^2+2x = 2^1 \)

\( x^2+2x = 2 \)

\( x^2+2x-2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12 \).

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3} \)

\( x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3} \)

Проверим ОДЗ:

1. \( x^2+2x > 0 \) \(\implies\) \( x(x+2) > 0 \). Это выполняется при \( x < -2 \) или \( x > 0 \).

2. \( \log_2(x^2+2x) > 0 \) \(\implies\) \( x^2+2x > 2^0 \) \(\implies\) \( x^2+2x > 1 \) \(\implies\) \( x^2+2x-1 > 0 \). Корни уравнения \( x^2+2x-1=0 \) равны \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \). Таким образом, \( x < -1-\sqrt{2} \) или \( x > -1+\sqrt{2} \).

Объединяя условия: \( x > -1+\sqrt{2} \) (так как \( -1+\sqrt{2} \approx 0.414 \) и \( -1-\sqrt{2} \approx -2.414 \), а \( -1 \approx -1 \)), окончательная ОДЗ: \( x > -1+\sqrt{2} \).

Проверим корни:

\( x_1 = -1 + \sqrt{3} \approx -1 + 1.732 = 0.732 \). Это больше \( -1+\sqrt{2} \approx 0.414 \). Корень подходит.

\( x_2 = -1 - \sqrt{3} \approx -1 - 1.732 = -2.732 \). Это меньше \( -1+\sqrt{2} \). Корень не подходит.

Ответ: -1 + √3