39. 2log2(x) = 3log3(x). Решить систему уравнений (40-41):

Решение:

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к натуральному логарифму \( \ln \).

\( 2 \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \frac{\ln x}{\ln 3} \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 2 \frac{\ln x}{\ln 2} - 3 \frac{\ln x}{\ln 3} = 0 \)

Вынесем \( \ln x \) за скобки:

\( \ln x \left( \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} \right) = 0 \)

Это уравнение имеет два случая:

1. \( \ln x = 0 \)

\( x = e^0 \)

\( x = 1 \)

2. \( \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} = 0 \)

\( \frac{2}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3} \)

\( 2 \ln 3 = 3 \ln 2 \)

\( \ln 3^2 = \ln 2^3 \)

\( \ln 9 = \ln 8 \)

\( 9 = 8 \) — это неверно. Следовательно, второй случай не дает решений.

Проверим ОДЗ: \( x > 0 \). Решение \( x = 1 \) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1