360. а) В треугольнике ABC проведена медиана BM и высота BK. Найдите AC, если AB = BM и AC = 65.

Краткая запись:

• Треугольник ABC
• BM — медиана
• BK — высота
• AB = BM
• AC = 65
• Найти: BC — ?

Краткое пояснение: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена (в данном случае BM = AC/2, что не так, так как BM — медиана к AC, а AB = BM), это означает, что треугольник, образованный этой медианой и двумя сторонами, является равнобедренным. В данном случае, так как AB = BM, то △ ABM — равнобедренный. Также, если в треугольнике ABC высота BK является медианой, то △ ABC — равнобедренный с AB=BC. Но нам дано AB = BM.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем условие AB = BM. Это означает, что △ ABM равнобедренный с основанием AM. Следовательно, ∠ BAM = ∠ BMA.
2. Шаг 2: BM — медиана к стороне AC, значит, AM = MC = AC / 2.
   AM = MC = 65 / 2 = 32.5.
3. Шаг 3: BK — высота, значит, ∠ BKA = 90°.
4. Шаг 4: Рассмотрим △ BCM. Угол BCM — это ∠ BCA. Угол BMC — это ∠ BMA.
5. Шаг 5: В △ ABM, ∠ BAM = ∠ BMA. Обозначим этот угол как α.
6. Шаг 6: В △ ABC, ∠ BAC = α.
7. Шаг 7: Рассмотрим △ BKC. Угол BKC = 90°. Угол KCB = ∠ ACB. Угол KBC = 90° - ∠ ACB.
8. Шаг 8: Из условия AB = BM, △ ABM — равнобедренный. Угол ∠ ABM = 180° - 2α.
9. Шаг 9: Рассмотрим △ ABC. Сумма углов ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180°.
   α + (∠ ABM + ∠ MBC) + ∠ BCA = 180°.
   α + (180° - 2α + ∠ MBC) + ∠ BCA = 180°.
10. Шаг 10: Данные задачи недостаточны для однозначного решения. Если бы BK была медианой, то △ ABC был бы равнобедренным, но BK — высота.

Ответ: Недостаточно данных для решения.