4. ABCD — прямоугольник. Точки A₁, B₁, C₁, D₁ — середины его сторон. Докажите: A₁B₁C₁D₁ — ромб.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами прямоугольника и его диагоналями.

1. В треугольнике ABC отрезок A₁B₁ соединяет середины AB и BC, поэтому A₁B₁ = AC/2.
2. Аналогично B₁C₁ = BD/2, C₁D₁ = AC/2 и D₁A₁ = BD/2.
3. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD. Следовательно, A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — ромб.