4. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин A (−1; 1), B (3; 3), C (2; −2), D (−2; −1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Направляющие векторы диагоналей: \(\overrightarrow{AC}=(3,-3)\), \(\overrightarrow{BD}=(-5,-4)\).

Для угла между прямыми берём модуль векторного произведения в числителе: \(|3\cdot(-4)-(-3)\cdot(-5)|=27\). Длины векторов равны \(3\sqrt2\) и \(\sqrt{41}\).

Следовательно, \(\sin\theta=\dfrac{27}{3\sqrt2\sqrt{41}}=\dfrac{9}{\sqrt{82}}\).

Ответ: \(\dfrac{9}{\sqrt{82}}\).