III уровень. I вариант. 1. В параллелограмме ABCD AB = 5, ∠ABC = 100°, E — середина BC, ∠EAD = 30°. Найдите площадь параллелограмма и радиус описанной около треугольника ABE окружности.

Так как AD ∥ BC, то угол между AB и BC, равный 100°, означает, что угол BAD равен 80°. Луч AE делит его: \(\angle BAE=80^\circ-30^\circ=50^\circ\). В треугольнике ABE также \(\angle ABE=100^\circ\), поэтому \(\angle AEB=30^\circ\).

По теореме синусов, \(\dfrac{AB}{\sin30^\circ}=\dfrac{BE}{\sin50^\circ}\), откуда \(BE=10\sin50^\circ\). Поскольку E — середина BC, \(BC=20\sin50^\circ\).

Площадь параллелограмма равна \(AB\cdot BC\sin100^\circ=100\sin50^\circ\sin100^\circ\), то есть примерно 73.9.

Радиус описанной окружности треугольника ABE: \(R=\dfrac{AB}{2\sin\angle AEB}=\dfrac{5}{2\sin30^\circ}=5\).

Ответ: площадь \(100\sin50^\circ\sin100^\circ\approx73.9\), радиус \(5\).