III уровень. I вариант. 2. Даны точки A (−1; 4), B (1; −2), C (0; −4), D (2; 2), E и F — середины AB и CD соответственно. Найдите угол между прямыми EF и CD. Вычислите \(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}\).

Середины: \(E=(0,1)\), \(F=(1,-1)\), поэтому направляющий вектор EF равен \((1,-2)\). Направляющий вектор CD: \((2,6)\). Их скалярное произведение равно \(-10\), длины равны \(\sqrt5\) и \(2\sqrt{10}\). Следовательно, косинус острого угла между прямыми равен \(\dfrac{10}{\sqrt5\cdot2\sqrt{10}}=\dfrac1{\sqrt2}\), то есть угол равен 45°.

\(\overrightarrow{CD}=(2,6)\), \(\overrightarrow{BC} =(-1,-2)\), \(\overrightarrow{BD}=(1,4)\). Тогда \(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BC}=-14\), а \(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}=26\). Их разность: \(-14-26=-40\).

Ответ: 45°; −40.