III уровень. II вариант. 2. Даны два отрезка EK и PM, причём EK ⟂ PM, E (−3; 1), K (1; 4), M (2; 1), P (−4; 0). Найдите острый угол между прямыми PE и EK. Вычислите \(\overrightarrow{EK}\cdot\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{KE}\cdot\overrightarrow{KP}\).

Вычислим направляющие векторы: \(\overrightarrow{PE}=(1,1)\), \(\overrightarrow{EK}=(4,3)\). Их скалярное произведение равно 7, длины — \(\sqrt2\) и 5. Поэтому острый угол θ удовлетворяет \(\cos\theta=\dfrac{7}{5\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{10}\), то есть \(\theta=\arccos\left(\dfrac{7\sqrt2}{10}\right)\).

\(\overrightarrow{MK}=(-1,3)\), поэтому \(\overrightarrow{EK}\cdot\overrightarrow{MK}=4(-1)+3\cdot3=5\). Также \(\overrightarrow{KE}=(-4,-3)\), \(\overrightarrow{KP}=(-5,-4)\), откуда \(\overrightarrow{KE}\cdot\overrightarrow{KP}=20+12=32\). Разность равна \(5-32=-27\).

Ответ: угол \(\arccos\left(\dfrac{7\sqrt2}{10}\right)\); скалярное выражение равно −27.