4. Доказать: \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0\). На рисунке три вектора равной длины; угол между каждой соседней парой равен 120°.

Пусть общая длина векторов равна r. Направления векторов отличаются на 120°, поэтому их проекции на оси можно записать как \(\vec{a}=(0,r)\), \(\vec{b}=(\frac{\sqrt3}{2}r,-\frac12r)\), \(\vec{c}=(-\frac{\sqrt3}{2}r,-\frac12r)\).

Складываем соответствующие координаты: \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(0+\frac{\sqrt3}{2}r-\frac{\sqrt3}{2}r,\ r-\frac12r-\frac12r)=(0,0)\).

Следовательно, \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\).