Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Решите неравенство: 3 - \(\frac{x-2}{x}\) > 0Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения дробно-рационального неравенства необходимо привести все к общему знаменателю, получить неравенство вида \( \frac{P(x)}{Q(x)} > 0 \), найти корни числителя и знаменателя и применить метод интервалов.

Пошаговое решение:

  • Шаг 1: Приведем дробь к общему знаменателю \( x \):
    \( \frac{3x}{x} - \frac{x-2}{x} > 0 \)
    \( \frac{3x - (x-2)}{x} > 0 \)
    \( \frac{3x - x + 2}{x} > 0 \)
    \( \frac{2x + 2}{x} > 0 \)
  • Шаг 2: Найдем корни числителя и знаменателя.
    Корень числителя: \( 2x + 2 = 0 \) \( \implies 2x = -2 \) \( \implies x = -1 \).
    Корень знаменателя: \( x = 0 \).
  • Шаг 3: Применим метод интервалов. Корни \( -1 \) и \( 0 \) делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 0) \), \( (0; \infty) \).
    - Возьмем \( x = -2 \) (интервал \( (-\infty; -1) \)): \( \frac{2(-2) + 2}{-2} = \frac{-4+2}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 > 0 \).
    - Возьмем \( x = -0.5 \) (интервал \( (-1; 0) \)): \( \frac{2(-0.5) + 2}{-0.5} = \frac{-1+2}{-0.5} = \frac{1}{-0.5} = -2 < 0 \).
    - Возьмем \( x = 1 \) (интервал \( (0; \infty) \)): \( \frac{2(1) + 2}{1} = \frac{4}{1} = 4 > 0 \).
  • Шаг 4: Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы, где знак "+".
    \( x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty) \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (0; \infty) \)