443. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точка $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$. Вычислите скалярное произведение векторов: а) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$; б) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{C_1A_1}$; в) $\overrightarrow{D_1B}$ и $\overrightarrow{AC}$; г) $\overrightarrow{BA_1}$ и $\overrightarrow{BC_1}$; д) $\overrightarrow{A_1O_1}$ и $\overrightarrow{A_1C_1}$; е) $\overrightarrow{D_1O_1}$ и $\overrightarrow{B_1O_1}$; ж) $\overrightarrow{BO_1}$ и $\overrightarrow{C_1B}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 443. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точка $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$. Вычислите скалярное…$ Фото задания

443. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$, точка $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$. Вычислите скалярное произведение векторов: а) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$; б) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{C_1A_1}$; в) $\overrightarrow{D_1B}$ и $\overrightarrow{AC}$; г) $\overrightarrow{BA_1}$ и $\overrightarrow{BC_1}$; д) $\overrightarrow{A_1O_1}$ и $\overrightarrow{A_1C_1}$; е) $\overrightarrow{D_1O_1}$ и $\overrightarrow{B_1O_1}$; ж) $\overrightarrow{BO_1}$ и $\overrightarrow{C_1B}$.

Accepted Answer

Зададим координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$; верхние вершины имеют третью координату $a$, а $O_1=(a/2,a/2,a)$. Используем формулу скалярного произведения: умножаем соответствующие координаты и складываем.

а) $\overrightarrow{AD}=(0,a,0)$, $\overrightarrow{BC}=(0,a,0)$, поэтому произведение равно $a^2$.
б) $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, $\overrightarrow{C_1A_1}=(-a,0,0)$, поэтому произведение равно $-a^2$.
в) $\overrightarrow{D_1B}=(a,-a,-a)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$, поэтому произведение равно $0$.
г) $\overrightarrow{BA_1}=(-a,0,a)$, $\overrightarrow{BC_1}=(0,a,a)$, поэтому произведение равно $a^2$.
д) $\overrightarrow{A_1O_1}=(a/2,-a/2,0)$, $\overrightarrow{A_1C_1}=(a,a,0)$, поэтому произведение равно $0$.
е) $\overrightarrow{D_1O_1}=(a/2,-a/2,0)$, $\overrightarrow{B_1O_1}=(-a/2,a/2,0)$, поэтому произведение равно $-a^2/2$.
ж) $\overrightarrow{BO_1}=(-a/2,a/2,a)$, $\overrightarrow{C_1B}=(0,-a,-a)$, поэтому произведение равно $-3a^2/2$.

Ответ: а) $a^2$; б) $-a^2$; в) $0$; г) $a^2$; д) $0$; е) $-a^2/2$; ж) $-3a^2/2$.