455. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Вычислите косинус угла между векторами: а) $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC_1}$; б) $\overrightarrow{BD_1}$ и $\overrightarrow{DB_1}$; в) $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 455. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Вычислите косинус угла между векторами: а) $\overrightarrow{AA_1}$ и…$ Фото задания

455. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Вычислите косинус угла между векторами: а) $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC_1}$; б) $\overrightarrow{BD_1}$ и $\overrightarrow{DB_1}$; в) $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно 1, а координаты вершин заданы стандартно: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$; верхние вершины имеют третью координату 1.

а) $\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)$. Их произведение равно 1, длины равны 1 и $\sqrt3$, поэтому косинус равен $1/\sqrt3$.
б) $\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1)$, $\overrightarrow{DB_1}=(1,-1,1)$. Их произведение равно $-1$, а обе длины равны $\sqrt3$, поэтому косинус равен $-1/3$.
в) $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)$, $\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)$. Их произведение равно 0, поэтому косинус равен 0.

Ответ: а) $1/\sqrt3$; б) $-1/3$; в) 0.

455. Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Вычислите косинус угла между векторами: а) \(\overrightarrow{AA_1}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\); б) \(\overrightarrow{BD_1}\) и \(\overrightarrow{DB_1}\); в) \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\).

Ответ: