454. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки \(A(1;-1;3)\), \(B(3;-1;1)\) и \(C(-1;1;3)\).

Найдём длины сторон по координатам: \(AB=2\sqrt2\), \(BC=2\sqrt6\), \(CA=2\sqrt2\). Тогда периметр \(P=4\sqrt2+2\sqrt6\).

Для угла \(A\): \(\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)\), \(\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)\), их произведение равно \(-4\); длины обоих векторов равны \(2\sqrt2\). Поэтому \(\cos A=-1/2\), то есть \(A=120^\circ\).

Треугольник равнобедренный, поскольку \(AB=AC\), значит \(B=C\). Из суммы углов следует \(B=C=30^\circ\).

Площадь: \(S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=2\sqrt3\).

Ответ: углы — 120°, 30°, 30°; периметр — \(4\sqrt2+2\sqrt6\); площадь — \(2\sqrt3\).