45. Найти обратную матрицу для матрицы A = [[1, 2], [3, 4]].

\(\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\ne0\), значит обратная матрица существует.

Для матрицы второго порядка \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). Поэтому

\(A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.\)

Ответ: \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac32&-\frac12\end{pmatrix}.\)