51. Решить систему уравнений матричным методом: x + 5y + 2z = 1; 2x + 3y + 2z = −3; x + 3y + 4z = −3.

Запишем систему в виде \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), где \(A=\begin{pmatrix}1&5&2\\2&3&2\\1&3&4\end{pmatrix}\), \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\).

\(\det A=-18\ne0\), поэтому \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\). Обратная матрица:

\(A^{-1}=\frac1{-18}\begin{pmatrix}6&-14&4\\-6&2&8\\3&2&-7\end{pmatrix}.\)

Тогда \(\mathbf{x}=\frac1{-18}\begin{pmatrix}6&-14&4\\-6&2&8\\3&2&-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}=\frac1{-18}\begin{pmatrix}36\\-36\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}.\)

Ответ: \(x=-2,\ y=2,\ z=-1.\)