\(5^2 \cdot 5^3\)^4 / \(5 \cdot 5^5\)^3

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Числитель: \( (5^2 \cdot 5^3)^4 = (5^{2+3})^4 = (5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20} \).

Знаменатель: \( (5 \cdot 5^5)^3 = (5^{1+5})^3 = (5^6)^3 = 5^{6 \cdot 3} = 5^{18} \).

Выражение: \( \frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2 = 25 \).

Ответ: 25