5. ABCD — параллелограмм; AB = 8, ∠DAC = 20°, ∠ACD = 40°. Найдите x = BD и y = AC.

В треугольнике ACD третий угол равен 120°. По теореме синусов, учитывая CD = AB = 8:

y = AC = 8 · sin 120° / sin 20° = 4√3 / sin 20°.

Также AD = 8 · sin 40° / sin 20° = 16 cos 20°. Угол между AD и AB равен 60°, поэтому в треугольнике ABD:

x² = AD² + AB² − 2 · AD · AB · cos 60° = 256 cos² 20° + 64 − 128 cos 20°.

Ответ: x = √(256 cos² 20° + 64 − 128 cos 20°), y = 4√3 / sin 20°.