5. Докажите тождество \( \left( \frac{2a}{a+3} + \frac{4a}{a^2+6a+9} \right) : \frac{a+1}{a^2-9} - \frac{a^2-9a}{a+3} = a \).

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке. Приведём дроби к общему знаменателю \( (a+3)^2 \) (так как \( a^2+6a+9 = (a+3)^2 \)):

\[ \frac{2a}{a+3} + \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+3)}{(a+3)^2} + \frac{4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+6a+4a}{(a+3)^2} = \frac{2a^2+10a}{(a+3)^2} = \frac{2a(a+5)}{(a+3)^2} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{2a(a+5)}{(a+3)^2} : \frac{a+1}{a^2-9} = \frac{2a(a+5)}{(a+3)^2} \cdot \frac{a^2-9}{a+1} \]

Разложим \( a^2-9 \) как разность квадратов: \( (a-3)(a+3) \).

\[ \frac{2a(a+5)}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a-3)(a+3)}{a+1} = \frac{2a(a+5)(a-3)}{(a+3)(a+1)} \]

Теперь выполним вычитание:

\[ \frac{2a(a+5)(a-3)}{(a+3)(a+1)} - \frac{a^2-9a}{a+3} \]

Приведём к общему знаменателю \( (a+3)(a+1) \):

\[ \frac{2a(a+5)(a-3)}{(a+3)(a+1)} - \frac{(a^2-9a)(a+1)}{(a+3)(a+1)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ 2a(a^2+2a-15) - (a^3+a^2-9a^2-9a) \]

\( = (2a^3+4a^2-30a) - (a^3-8a^2-9a) \)\

\( = 2a^3+4a^2-30a - a^3+8a^2+9a \)\

\( = a^3 + 12a^2 - 21a \)

Разделим на общий знаменатель \( (a+3)(a+1) \):

\[ \frac{a^3 + 12a^2 - 21a}{(a+3)(a+1)} \]

Результат не равен \( a \). Возможно, в условии задания есть опечатка.

Примечание: Перепроверим условие, так как дальнейшие упрощения не приводят к \( a \).