Докажите, что при любом значении р уравнение х²+ px+p-3=0 имеет два корня.

Решение:

Чтобы доказать, что уравнение \( x^2 + px + p - 3 = 0 \) имеет два корня при любом значении \( p \), нужно показать, что его дискриминант \( D > 0 \) для любого \( p \).

Уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=1 \), \( b=p \), \( c=p-3 \).

Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

Подставим значения коэффициентов:

\[ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) \]

Раскроем скобки:

\[ D = p^2 - 4p + 12 \]

Чтобы определить, будет ли \( D > 0 \) для любого \( p \), рассмотрим \( D \) как функцию от \( p \) и найдем её дискриминант (дискриминант дискриминанта):

\[ D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32 \]

Так как дискриминант \( D_p < 0 \) и коэффициент при \( p^2 \) (равный 1) положителен, то парабола \( D = p^2 - 4p + 12 \) всегда находится выше оси \( p \), то есть \( D > 0 \) для любого \( p \).

Следовательно, уравнение \( x^2 + px + p - 3 = 0 \) имеет два различных действительных корня при любом значении \( p \).

Ответ: доказано.