7. Докажите, что при любом значении р уравнение х²+px+p-1=0 имеет хотя бы один корень.

Решение:

Чтобы доказать, что уравнение \( x^2 + px + p - 1 = 0 \) имеет хотя бы один корень при любом значении \( p \), нужно показать, что его дискриминант \( D \ge 0 \) для любого \( p \).

Уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=1 \), \( b=p \), \( c=p-1 \).

Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

Подставим значения коэффициентов:

\[ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ D = p^2 - 4p + 4 \]

Это выражение является полным квадратом разности:

\[ D = (p - 2)^2 \]

Так как квадрат любого действительного числа \( (p-2)^2 \) всегда неотрицателен, то есть \( (p-2)^2 \ge 0 \) при любом \( p \), то дискриминант \( D \ge 0 \).

Следовательно, уравнение \( x^2 + px + p - 1 = 0 \) имеет хотя бы один корень (один корень, если \( p=2 \), и два корня, если \( p \neq 2 \)) при любом значении \( p \).

Ответ: доказано.