5. Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите медиану этого треугольника.

Дано: Равносторонний ΔABC, a = 10√3.

Найти: Медиану (m_a).

1. Свойства равностороннего треугольника:
• Все стороны равны.
• Все углы равны 60°.
• Медиана является также высотой и биссектрисой.
2. Нахождение медианы (как высоты):
• В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, образует с этой стороной прямоугольный треугольник.
• Рассмотрим ΔABM, где BM — медиана (и высота). AM = a/2 = (10√3)/2 = 5√3.
• ∠A = 60°.
• Используем теорему Пифагора: AB² = AM² + BM².
• (10√3)² = (5√3)² + BM².
• 300 = (25 * 3) + BM².
• 300 = 75 + BM².
• BM² = 300 - 75 = 225.
• BM = √225 = 15.
3. Альтернативный способ (формула медианы):
• Формула медианы в равностороннем треугольнике: m_a = (a√3)/2.
• m_a = (10√3 * √3) / 2 = (10 * 3) / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: 15