69. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 73 и BC = BM. Найдите AH.

Дано: ΔABC, BM — медиана, BH — высота, AC = 73, BC = BM.

Найти: AH.

1. Свойства медианы и высоты:
• Медиана делит противоположную сторону пополам.
• Высота перпендикулярна противоположной стороне.
2. Рассмотрим ΔBMC:
• BM = BC (дано), значит, ΔBMC — равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠BCM = ∠BMC.
• ∠BMC = ∠BCA.
3. Рассмотрим ΔBHC:
• ∠BHC = 90° (BH — высота).
• BC — гипотенуза.
• ∠BCM + ∠CBH = 90°.
• ∠BCA + ∠CBH = 90°.
4. Связь с ΔABC:
• В ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + (∠CBH + ∠HBC) + ∠BCA = 180°.
• ∠BAC + ∠CBH + 2 * ∠BCA = 180°.
5. Рассмотрим ΔABM:
• BM — медиана, значит, AM = MC = AC / 2 = 73 / 2 = 36.5.
• BC = BM.
• В ΔABM: AB² = AM² + BM² - 2 * AM * BM * cos(∠AMB).
• В ΔBMC: BC² = MC² + BM² - 2 * MC * BM * cos(∠BMC).
• Так как BC = BM, то BC² = BM².
• MC² + BM² - 2 * MC * BM * cos(∠BMC) = BM².
• MC² - 2 * MC * BM * cos(∠BMC) = 0.
• MC(MC - 2 * BM * cos(∠BMC)) = 0.
• Поскольку MC ≠ 0, то MC = 2 * BM * cos(∠BMC).
• 36.5 = 2 * BM * cos(∠BMC).
• ∠BMC = ∠AMB (как углы, смежные с ∠BMC).
• cos(∠BMC) = MC / (2 * BM) = 36.5 / (2 * BM).
6. Из ΔBHC:
• cos(∠BCA) = HC / BC.
• ∠BCA = ∠BMC.
• cos(∠BCA) = HC / BC.
• HC = BC * cos(∠BCA) = BM * cos(∠BMC).
• HC = BM * (MC / (2 * BM)) = MC / 2 = 36.5 / 2 = 18.25.
7. Нахождение AH:
• AH = AC - HC = 73 - 18.25 = 54.75.

Ответ: 54.75