6.49. Докажите, что значение выражения: 1) 17⁸ + 19 делится нацело на 10; 2) 64⁶⁴ − 1 делится нацело на 5; 3) 3⁴ⁿ + 14, где n — натуральное число, делится нацело на 5.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Последняя цифра \(17^8\) совпадает с последней цифрой \(7^8\), то есть равна 1. Поэтому \(17^8+19\) оканчивается цифрой 0 и делится на 10.
\(64\equiv4\pmod5\), а \(4^2\equiv1\pmod5\). Поэтому \(64^{64}=(64^2)^{32}\equiv1\pmod5\), значит \(64^{64}-1\) делится на 5.
\(3^4=81\equiv1\pmod5\). Поэтому \(3^{4n}\equiv1^n\equiv1\pmod5\), а \(3^{4n}+14\equiv1+4\equiv0\pmod5\).

Ответ: