6.53. Существует ли такое натуральное число, при умножении которого на 2 будет получен квадрат натурального числа, при умножении на 3 — куб натурального числа, при умножении на 5 — пятая степень натурального числа?

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Ответ: такого натурального числа не существует.

Предположим, что такое число \(n\) существует. Рассмотрим показатель простого множителя 2 в разложении числа \(n\) и обозначим его через \(a\).

В числе \(2n\) показатель 2 равен \(a+1\), а для квадрата он должен быть чётным. Значит, \(a\) нечётно.
В числе \(3n\) показатель 2 равен \(a\), а для куба он должен делиться на 3.
В числе \(5n\) показатель 2 также равен \(a\), а для пятой степени он должен делиться на 5.

Следовательно, \(a\) делится на 3 и на 5, поэтому делится на 15 и является чётным. Это противоречит тому, что \(a\) нечётно.