6.50. Докажите, что значение выражения: 1) 4⁴⁰ − 1; 2) 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴ делится нацело на 5.

1. \(4^2=16\equiv1\pmod5\). Поэтому \(4^{40}=(4^2)^{20}\equiv1\pmod5\), следовательно, \(4^{40}-1\equiv0\pmod5\).
2. \(2004\equiv4\pmod5\), поэтому \(2004^{171}\equiv4^{171}\equiv4\pmod5\). Кроме того, \(171\equiv1\pmod5\), значит \(171^{2004}\equiv1\pmod5\). Сумма сравнима с \(4+1=5\equiv0\pmod5\).

Следовательно, оба выражения делятся на 5.