6–7. а) Сколько среди целых чисел от 100 до 10 000 таких, в записи которых встречаются ровно три одинаковые цифры? б) Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4: 1) если каждая цифра может встретиться только один раз; 2) если каждая цифра может встретиться несколько раз?

а) Рассмотрим числа от 100 до 9999: у них от трёх до четырёх цифр. Для каждого числа выбираем цифру, которая встречается ровно три раза.

В трёхзначном числе должны совпадать все три цифры. Таких чисел 9: это 111, 222, …, 999.

В четырёхзначном числе выбираем повторяющуюся цифру (10 способов), отличающуюся от неё цифру (9 способов) и место отличающейся цифры (4 способа). Если отличающаяся цифра стоит первой, повторяющаяся цифра не может быть нулём: получаем 9·9 вариантов. Если первой стоит повторяющаяся цифра, получаем 9·9 вариантов. Итого 1620.

Число 10 000 не подходит: в нём четыре одинаковые цифры 0.

б) Число делится на 4, если образованное двумя последними цифрами число делится на 4.

1) Возможны окончания 12, 24, 32. Для окончания 12 оставшиеся цифры 3 и 4 можно поставить двумя способами; для каждого из окончаний 24 и 32 оставшиеся цифры можно поставить также двумя способами. Итого 2+2+2=6.

2) Последними двумя цифрами могут быть 12, 24, 32, 44. Для каждого окончания первые две цифры выбираются независимо: 4·4=16 способов. Итого 4·16=64.

Ответ: а) 1629; б) 1) 6; 2) 64.