7. а) Можно раскрасить грани куба либо все в белый цвет, либо все в чёрный, либо часть в белый и часть в чёрный цвета. Сколько существует различных способов окраски? (Два куба считаются раскрашенными различно, если их нельзя перепутать, как бы они ни поворачивались.) б) Гайка имеет форму правильной шестиугольной призмы. Каждая боковая грань гайки покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий, причём соседние грани окрашены в разные цвета. Сколько существует различных раскрасок? (Для раскраски гайки не обязательно использовать все три краски.)

а) Учитываем раскраски с точностью до поворотов куба. По лемме Бёрнсайда всего существует 10 классов раскрасок двумя цветами, включая две одноцветные. Исключаем полностью белый и полностью чёрный варианты: 10−2=8.

б) Рассматриваем только шесть боковых граней; повороты призмы, переводящие боковые грани друг в друга, не создают новую раскраску. Перебираем правильные раскраски цикла из шести граней тремя цветами, соседние грани которого обязаны различаться, и отождествляем циклические повороты. Число таких раскрасок равно 92.

Ответ: а) 8; б) 92.