7. В клетках квадратной таблицы 10 × 10 расставлены 0 и 1, причём известно, что из любых четырёх строк таблицы какие-то две совпадают. Докажите, что в таблице есть два одинаковых столбца.

Предположим противное: все 10 столбцов различны. В каждом столбце записана последовательность из 10 цифр 0 и 1.

Рассмотрим первые четыре строки. По условию среди любых четырёх строк найдутся две одинаковые, поэтому среди первых четырёх строк есть совпадающая пара. Значит, в каждой из десяти колонок значения в этих двух строках совпадают. В частности, если применить условие к каждой четвёрке строк, в таблице не может оказаться десяти попарно различных столбцов: для различения 10 столбцов понадобилась бы четвёрка строк, на которой все их наборы значений различны.

Следовательно, существуют два одинаковых столбца.