7. а) Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра? б) Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность? в) Сколько существует семизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

а) Всего шестизначных чисел 9·10⁵=900 000. Если все цифры чётные, то первая цифра имеет 4 варианта (2, 4, 6, 8), а каждая следующая — 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8). Таких чисел 4·5⁵=12 500. Следовательно, с хотя бы одной нечётной цифрой: 900 000−12 500=887 500.

б) Если все цифры нечётные, имеется 5⁶ чисел. Если все чётные, первая цифра имеет 4 варианта, остальные — по 5: таких чисел 4·5⁵. Итого 5⁶+4·5⁵=15 625+12 500=28 125.

в) Всего семизначных чисел 9·10⁶. Если все цифры различны, первая цифра выбирается 9 способами, а следующие шесть — 9·8·7·6·5·4 способами. Таких чисел 9·9·8·7·6·5·4=544 320. Значит, чисел с хотя бы двумя одинаковыми цифрами 9 000 000−544 320=8 455 680.

Ответ: а) 887 500; б) 28 125; в) 8 455 680.