6. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (a+c)(a-c)-b(2a-b)-(a-b+c)(a-b-c))=0.

Доказательство:

Чтобы доказать равенство, раскроем скобки и приведем подобные члены:

Шаг 1: Раскрываем первую пару скобок.

\( (a + c)(a - c) \) — это формула разности квадратов, которая равна \( a^2 - c^2 \).

Шаг 2: Раскрываем вторую пару скобок.

\( b(2a - b) = 2ab - b^2 \).

Шаг 3: Раскрываем третью пару скобок.

Выражение \( (a - b + c)(a - b - c) \) можно представить как \( ((a - b) + c)((a - b) - c) \). Это снова разность квадратов, где \( (a - b) \) — первый член, а \( c \) — второй.

\( ((a - b) + c)((a - b) - c) = (a - b)^2 - c^2 \)

Раскроем квадрат разности \( (a - b)^2 \):

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Теперь подставим это обратно:

\( (a - b)^2 - c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 \)

Шаг 4: Собираем всё вместе и упрощаем.

Теперь подставим результаты раскрытия скобок в исходное выражение:

\( (a^2 - c^2) - (2ab - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2 - c^2) \)

Убираем скобки, меняя знаки там, где стоит минус перед скобкой:

\( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)

Шаг 5: Приводим подобные члены.

\( (a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Получили \( 0 = 0 \), что доказывает верность исходного равенства.

Ответ: Равенство доказано.