6. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (x - y)(x + y) - (a - x + y)(a - x - y) - a(2x - a) = 0.

Доказательство:

Чтобы доказать равенство, раскроем скобки и приведем подобные члены:

Шаг 1: Раскрываем первую пару скобок.

\( (x - y)(x + y) \) — это формула разности квадратов, которая равна \( x^2 - y^2 \).

Шаг 2: Раскрываем вторую пару скобок.

Выражение \( (a - x + y)(a - x - y) \) можно представить как \( ((a - x) + y)((a - x) - y) \). Это снова разность квадратов, где \( (a - x) \) — первый член, а \( y \) — второй.

\( ((a - x) + y)((a - x) - y) = (a - x)^2 - y^2 \)

Раскроем квадрат разности \( (a - x)^2 \):

\( (a - x)^2 = a^2 - 2ax + x^2 \)

Теперь подставим это обратно:

\( (a - x)^2 - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2 \)

Шаг 3: Раскрываем третью пару скобок.

\( a(2x - a) = 2ax - a^2 \)

Шаг 4: Собираем всё вместе и упрощаем.

Теперь подставим результаты раскрытия скобок в исходное выражение:

\( (x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (2ax - a^2) \)

Убираем скобки, меняя знаки там, где стоит минус перед скобкой:

\( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \)

Шаг 5: Приводим подобные члены.

\( (x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 + a^2) + (2ax - 2ax) \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Получили \( 0 = 0 \), что доказывает верность исходного равенства.

Ответ: Равенство доказано.