776. Докажите, что при всех допустимых значениях β значение выражения не зависит от β: а) (1 + 2 sin β cos β)/(sin β + cos β)²; б) (sin² β − cos² β + 1)/sin² β; в) 1/(1 + tg² β) + 1/(1 + ctg² β); г) (1 + sin β)/cos β − (1 − sin β)/cos β.

1. а) (sin β + cos β)² = sin² β + 2 sin β cos β + cos² β = 1 + 2 sin β cos β. Числитель равен знаменателю, выражение постоянно и равно 1.
2. б) В числителе sin² β − cos² β + 1 = sin² β − cos² β + sin² β + cos² β = 2 sin² β. Значение выражения постоянно и равно 2.
3. в) По формулам 1 + tg² β = 1/cos² β и 1 + ctg² β = 1/sin² β выражение равно cos² β + sin² β = 1.
4. г) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем: 2 sin β/cos β = 2 tg β. Это зависит от β, а не является постоянной величиной. Похоже, в изображённом условии требуется показать именно указанное выражение, поэтому утверждение о независимости от β для этого пункта неверно.

Ответ: а) 1; б) 2; в) 1; г) 2 tg β, поэтому пункт г) не является независимым от β.