784. Докажите тождество: а) (tg α + ctg α)² − (tg α − ctg α)² = 4; б) (2 + sin β)(2 − sin β) + (2 + cos β)(2 − cos β) = 7; в) ctg α + sin α/(1 + cos α) = 1/sin α; г) (1 − 2 sin x cos x)/(sin x − cos x) = sin x − cos x.

1. а) По формуле разности квадратов: 4 tg α · ctg α = 4, так как tg α · ctg α = 1.
2. б) Применяем разность квадратов: 4 − sin² β + 4 − cos² β = 8 − 1 = 7.
3. в) Преобразуем дробь: sin α/(1 + cos α) = (1 − cos α)/sin α. Тогда ctg α + эта дробь равны cos α/sin α + (1 − cos α)/sin α = 1/sin α.
4. г) Числитель равен sin² x + cos² x − 2 sin x cos x = (sin x − cos x)². Сокращая на sin x − cos x, получаем sin x − cos x.

Тождества доказаны.