858. Даны вершины треугольника \(A(1;-1;2)\), \(B(5;-6;2)\) и \(C(1;3;-1)\). Вычислить длину высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AC\).

\(\overrightarrow{AB}=(4;-5;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0;4;-3)\). Площадь параллелограмма на этих векторах равна длине их векторного произведения:

\([\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(15;12;16)\), поэтому \(|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|=\sqrt{15^2+12^2+16^2}=25\).

Длина стороны \(AC\): \(|AC|=\sqrt{0^2+4^2+(-3)^2}=5\). Площадь треугольника равна \(\frac12|AC|h\), а также \(\frac12|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|\). Значит, \(h=\frac{25}{5}=5\).

Ответ: \(5\).