86. Около треугольника АВС описана окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если: 1) ∠A = 78°; 2) ∠A = 128°.

Решение:

Угол ВОС является центральным углом, который опирается на дугу BC. Угол А является вписанным углом, который опирается на ту же дугу BC.

Связь между центральным и вписанным углом, опирающимися на одну и ту же дугу, заключается в том, что центральный угол в два раза больше вписанного.

1) Если ∠A = 78°:

• Центральный угол ∠ВОС = 2 * ∠A
• ∠ВОС = 2 * 78° = 156°

2) Если ∠A = 128°:

В этом случае угол A является тупым. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный тупой угол, может быть как острым, так и тупым. Для тупого вписанного угла, опирающегося на дугу BC, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, будет равен удвоенному значению вписанного угла. Однако, если вписанный угол больше 90 градусов, это может означать, что точка А находится на той дуге, которая НЕ содержит точки B и C, или же речь идет о центральном угле, который опирается на большую дугу BC. В стандартной постановке задачи, когда АВС - треугольник, а О - центр описанной окружности, угол A, опирающийся на дугу BC, связан с центральным углом BOC, который также опирается на дугу BC.

Если ∠A = 128°, это означает, что точка А находится на дуге, противоположной дуге BC. В таком случае, угол, который опирается на меньшую дугу BC (центральный угол ∠BOC), будет равен 2 * (180° - ∠A), если ∠A больше 90°. Однако, более корректно рассмотреть случай, когда ∠A относится к той дуге BC, на которую опирается центральный угол.

Если ∠A = 128°, это означает, что точка А лежит на той дуге, которая является дополнительной к дуге, на которую опирается центральный угол ∠BOC. В таком случае, мы должны использовать свойство, что сумма углов, опирающихся на противоположные дуги, равна 360° (для центрального и вписанного углов, связанных с полной окружностью). Или же, если ∠A = 128° является вписанным углом, то дуга, на которую он опирается, равна 2 * 128° = 256°. Тогда оставшаяся часть окружности (меньшая дуга BC) равна 360° - 256° = 104°. Следовательно, центральный угол ∠BOC, опирающийся на меньшую дугу BC, будет равен 104°.

• ∠ВОС = 360° - 2 * ∠A (когда ∠A > 90°)
• ∠ВОС = 360° - 2 * 128° = 360° - 256° = 104°

Примечание: В стандартных задачах для треугольника принято, что вписанный угол меньше 180°. Если ∠A = 128°, это часто подразумевает, что треугольник ABC может быть не остроугольным, и рассматривается большая дуга. Однако, в контексте данного задания, где ищется угол BOC, стандартное решение предполагает, что ∠A относится к той дуге, на которую опирается центральный угол.

Если предположить, что ∠A=128° является ошибкой ввода и должно быть, например, 64°, то ответ был бы 2*64 = 128°. Но принимая условие как есть:

• Если ∠A = 128°, то дуга BC = 2 * (180° - 128°) = 2 * 52° = 104° (если A находится вне дуги BC).
• Или, более вероятно, что 128° - это угол, опирающийся на большую дугу BC. Тогда меньшая дуга BC = 360° - 2 * 128° = 360° - 256° = 104°. Соответственно, центральный угол ∠BOC, который равен меньшей дуге BC, будет 104°.

Принятое стандартное толкование: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Центральный угол равен мере дуги, на которую он опирается. Если вписанный угол ∠A опирается на дугу BC, а центральный угол ∠BOC опирается на ту же дугу BC, то ∠BOC = 2 * ∠A. Однако, если ∠A > 90°, это означает, что ∠A опирается на большую дугу, и тогда центральный угол ∠BOC, опирающийся на меньшую дугу, будет вычисляться иначе.

Корректное решение для 2) ∠A = 128°:

Если ∠A = 128°, то это вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 2 * 128° = 256°. Центральный угол ∠BOC, опирающийся на эту же дугу, будет равен 256°. Однако, в геометрии обычно ищется меньший центральный угол, который опирается на меньшую дугу. Меньшая дуга BC составит 360° - 256° = 104°. Соответственно, центральный угол ∠BOC, опирающийся на меньшую дугу BC, будет равен 104°.

Важно: Иногда в задачах могут подразумевать, что вписанный угол, когда он тупой, опирается на большую дугу, а искомый центральный угол — на меньшую.

Окончательные ответы:

• 1) ∠A = 78° → ∠BOC = 156°
• 2) ∠A = 128° → ∠BOC = 104°

Ответ: 1) 156°; 2) 104°.