87. Точки А, В и С делят окружность на три дуги так, что UAB: OBC: UAC = 3:5:7. Найдите углы треугольника АВС.

Решение:

1. Обозначаем дуги: Пусть градусные меры дуг равны 3x, 5x и 7x.
2. Составляем уравнение: Сумма всех дуг равна 360°.

\[ 3x + 5x + 7x = 360^{\circ} \]

3. Находим x:

\[ 15x = 360^{\circ} \]

\[ x = \frac{360^{\circ}}{15} = 24^{\circ} \]

4. Находим градусные меры дуг:
• Дуга AB = 3x = 3 * 24° = 72°
• Дуга BC = 5x = 5 * 24° = 120°
• Дуга AC = 7x = 7 * 24° = 168°
5. Находим углы треугольника: Углы треугольника ABC являются вписанными углами, опирающимися на соответствующие дуги.
• \[ \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги AB} = \frac{1}{2} \times 72^{\circ} = 36^{\circ} \]
• \[ \angle A = \frac{1}{2} \text{дуги BC} = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \]
• \[ \angle B = \frac{1}{2} \text{дуги AC} = \frac{1}{2} \times 168^{\circ} = 84^{\circ} \]
6. Проверка: 36° + 60° + 84° = 180°

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 84°, ∠C = 36°