89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна 192°.

Решение:

1. Обозначаем дугу основания: Дуга, стягиваемая основанием равнобедренного треугольника, равна 192°.
2. Находим угол при вершине: Угол при вершине равнобедренного треугольника опирается на дугу, стягиваемую основанием. Этот угол является вписанным.

\[ \text{Угол при вершине} = \frac{192^{\circ}}{2} = 96^{\circ} \]

3. Находим углы при основании: Оставшаяся часть окружности (360° - 192° = 168°) делится на два равных угла при основании.

\[ \text{Углы при основании} = \frac{168^{\circ}}{2} = 84^{\circ} \]

4. Проверка: 96° + 84° + 84° = 264°. Это не 180°, значит, что-то не так.
5. Переосмысление: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть основание - сторона AC. Тогда дуга AC = 192°.
6. Угол B вписанный и опирается на дугу AC.

\[ \angle B = \frac{192^{\circ}}{2} = 96^{\circ} \]

7. Две другие дуги (AB и BC) равны:

\[ \text{Дуга AB} = \text{Дуга BC} = \frac{360^{\circ} - 192^{\circ}}{2} = \frac{168^{\circ}}{2} = 84^{\circ} \]

8. Углы A и C вписанные и опираются на эти дуги:

\[ \angle A = \angle C = \frac{84^{\circ}}{2} = 42^{\circ} \]

9. Проверка: 96° + 42° + 42° = 180°.

Ответ: Углы треугольника равны 96°, 42°, 42°.