90. Точка О — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС (АС = ВС). Найдите углы треугольника АВС, если ∠AOB = 128°. Сколько решений имеет задача?

Решение:

Треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, так как AC = BC.

Центральный угол ∠AOB = 128° опирается на дугу AB.

1. Находим углы треугольника:

• \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуги AB} = \frac{1}{2} \times 128^{\circ} = 64^{\circ} \]
• Так как треугольник ABC равнобедренный с AC = BC, то углы при основании AB равны:

\[ \angle CAB = \angle CBA = \frac{180^{\circ} - \angle ACB}{2} = \frac{180^{\circ} - 64^{\circ}}{2} = \frac{116^{\circ}}{2} = 58^{\circ} \]

2. Количество решений:

В данном случае, так как ∠AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB, и нам дано, что AC = BC, то вершина C должна быть на дуге, которая не содержит A и B. Единственное положение для C, при котором AC = BC, это середина дуги, противоположной дуге AB. Поэтому решение единственное.

Ответ: Углы треугольника ABC равны 58°, 58°, 64°. Задача имеет одно решение.