9. Какую скорость нужно сообщить искусственному спутнику Луны, чтобы он двигался вокруг нее по круговой орбите на высоте 100 км? Масса Луны 7,3·10²² кг, а ее радиус 1,7·10⁶ м.

Решение:

1. Определим радиус орбиты:

   Радиус Луны R_Луны = 1,7 ⋅ 10⁶ м. Высота орбиты h = 100 км = 100 000 м = 10⁵ м. Радиус орбиты R_орбиты = R_Луны + h = 1,7 ⋅ 10⁶ м + 10⁵ м = 1,7 ⋅ 10⁶ м + 0,1 ⋅ 10⁶ м = 1,8 ⋅ 10⁶ м.

2. Приравняем силу гравитации к центростремительной силе:

   G * (M_Луны * m_{спутника}) / R_орбиты² = m_{спутника} * v² / R_орбиты

   Где G - гравитационная постоянная (примем G ≈ 6,674 ⋅ 10^-11 Н⋅м²/кг²).

   Сократим m_{спутника} и R_орбиты:

   G * M_Луны / R_орбиты = v²

3. Найдем скорость (v):

   (\( v = √{\frac{G × M_{\text{Луны}}}{R_{\text{орбиты}}}} \))

   Подставим значения:

   (\( v = √{\frac{(6.674 × 10^{-11} \text{ Н} × \text{м}^2/\text{кг}^2) × (7.3 × 10^{22} \text{ кг})}{1.8 × 10^6 \text{ м}}} \))

   (\( v = √{\frac{48.7202 × 10^{11}}{1.8 × 10^6}}   \text{м/с}} = √{27.0667 × 10^5}   \text{м/с}} = √{2.70667 × 10^6}   \text{м/с}} \))

   (\( v \approx 1645 \text{ м/с} \))

Ответ: Примерно 1645 м/с