9. A В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 17, sinA = \(\frac{2√5}{5}\) Найдите ВС.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) синус угла \(A\) равен отношению противолежащего катета (\(BC\)) к гипотенузе (\(AB\)): \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
2. Выразим \(BC\) через \(AB\) и \(\sin A\): \(BC = AB \cdot \sin A\)
3. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). Подставим \(BC = AB \cdot \sin A\): \(AB^2 = AC^2 + (AB \cdot \sin A)^2\)
4. \(AB^2 = AC^2 + AB^2 \cdot \sin^2 A\) \(\Rightarrow AB^2 - AB^2 \cdot \sin^2 A = AC^2\) \(\Rightarrow AB^2(1 - \sin^2 A) = AC^2\)
5. Отсюда: \(AB^2 = \frac{AC^2}{1 - \sin^2 A}\) \(\Rightarrow AB = \sqrt{\frac{AC^2}{1 - \sin^2 A}} = \frac{AC}{\sqrt{1 - \sin^2 A}}\)
6. Подставим значения: \(\sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(AC = 17\).
7. Тогда: \(AB = \frac{17}{\sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2}} = \frac{17}{\sqrt{1 - \frac{4 \cdot 5}{25}}} = \frac{17}{\sqrt{1 - \frac{20}{25}}} = \frac{17}{\sqrt{\frac{5}{25}}} = \frac{17}{\sqrt{\frac{1}{5}}} = \frac{17}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 17\sqrt{5}\)
8. Теперь находим \(BC\): \(BC = AB \cdot \sin A = 17\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{17 \cdot 2 \cdot 5}{5} = 17 \cdot 2 = 34\)

Ответ: 34