18. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 9.

Пошаговое решение:

1. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(BC\). Это означает, что \(AM\) — биссектриса угла \(A\) и \(BM\) — биссектриса угла \(B\).
2. Углы \(A\) и \(B\) параллелограмма — односторонние, поэтому их сумма равна 180°. Следовательно, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Так как \(AM\) и \(BM\) — биссектрисы, то \(\angle MAB = \frac{1}{2} \angle A\) и \(\angle MBA = \frac{1}{2} \angle B\).
3. Сумма углов \(MAB\) и \(MBA\) равна: \(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\). Тогда в треугольнике \(ABM\) угол \(AMB = 180^\circ - (\angle MAB + \angle MBA) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\), то есть треугольник \(ABM\) — прямоугольный.
4. Угол \(BAM\) равен углу \(BMA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AM\). Следовательно, треугольник \(ABM\) — равнобедренный с \(AB = BM = 9\). Аналогично, \(CM=CD\)
5. Если биссектрисы пересекаются на стороне \(BC\), то \(BC=2AB\). В нашем случае \(BC=2AB=18\)
6. Периметр параллелограмма равен: \(P=2(AB+BC)=2(9+18)=54\)

Ответ: 54