Билет №10. 1. Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 2. Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?

1. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть диагонали AC и BD ромба ABCD пересекаются в O. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.

В треугольниках AOB и COB стороны AB и CB равны как стороны ромба, AO = CO, BO — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому \(\angle AOB=\angle BOC\); они смежные, значит оба прямые и диагонали перпендикулярны.

Треугольники DAC и CAB равны по трём сторонам: DA = AB, DC = CB, AC — общая сторона. Поэтому \(\angle DAC=\angle CAB\), и диагональ AC делит угол A пополам. Аналогично диагонали делят пополам углы при остальных вершинах.

2. Выпуклый четырёхугольник разбивается диагональю на два треугольника. Поэтому сумма его углов равна \(2\cdot180^\circ=360^\circ\).