Билет №3. 1. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. 2. Какой четырёхугольник называется квадратом? Сформулируйте и докажите основные свойства квадрата.

1. Проведём из одной вершины выпуклого n-угольника диагонали ко всем несоседним вершинам. Они разобьют его на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а вместе углы треугольников составляют все внутренние углы многоугольника. Поэтому сумма углов равна \((n-2)\cdot180^\circ\).

2. Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Он одновременно является прямоугольником и ромбом.

Основные свойства: противоположные стороны параллельны; все углы равны 90°; диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Обоснование. Как у прямоугольника, диагонали квадрата равны и делятся точкой пересечения пополам. Как у ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Поскольку квадрат обладает свойствами и прямоугольника, и ромба, перечисленные свойства выполняются одновременно.