Билет №6. 1. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым многоугольником? 2. Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, любой невырожденный параллелограмм выпуклый: его внутренние углы меньше 180°, и каждая пара противоположных сторон ограничивает его с разных сторон.

2. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.

Перпендикулярность. В треугольниках AOB и COB: AB = CB (стороны ромба), AO = CO, а BO — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому \(\angle AOB=\angle BOC\). Эти углы смежные, их сумма 180°, значит каждый равен 90°. Следовательно, AC ⟂ BD.

Деление углов пополам. В треугольниках DAB и CAB: DA = CA? Для ромба равны стороны AD и AB, а диагональ AC общая; также CD = CB. Поэтому треугольники DAC и CAB равны по трём сторонам. Отсюда \(\angle DAC=\angle CAB\), то есть AC делит угол A пополам. Аналогично каждая диагональ делит пополам углы при своих концах; значит, диагонали ромба делят его углы пополам.